第4题
某工程计算中要完成多个矩阵相乘(链乘)的计算任务。
两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，计算量主要由进行乘法运算的次数决定。采用标准的矩阵相乘算法，计算Am×n*Bn×p，需要m*n*p次乘法运算。
矩阵相乘满足结合律，多个矩阵相乘，不同的计算顺序会产生不同的计算量。以矩阵A110×100，A2100x5,A35x50三个矩阵相乘为例，若按(A1*A2)*A3计算，则需要进行10*100*5+10*5*50=7500次乘法运算；若按Al*(A2*A3)计算，则需要进行100*5*50+10*100*50=75000次乘法运算。可见不同的计算顺序对计算量有很大的影响。
矩阵链乘问题可描述为：给定n个矩阵，矩阵Ai的维数为pMXPi，其中i=1，2,…，n。确定一种乘法顺序，使得这n个矩阵相乘时进行乘法的运算次数最少。
由于可能的计算顺序数量非常庞大，对较大的n，用蛮力法确定计算顺序是不实际的。经过对问题进行分析，发现矩阵链乘问题具有最优子结构，即若A1*A2*…*An的一个最优计算顺序从第k个矩阵处断开，即分为Al*A2*“，*Ak和Ak+1*Ak--2*“，*An两个子问题，则该最优解应该包含Al*A2*-，*Ak的一个最优计算顺序和Ak+PAk+St-*An的一个最优计算顺序。据此构造递归式，
其中，cost[i][j]表示Ai+1*Ai+2*……*Aj+l的最优计算的计算代价。最终需要求解cost[0][n-1]。
【C代码】
算法实现采用自底向上的计算过程。首先计算两个矩阵相乘的计算量，然后依次计算3个矩阵、4个矩阵……n个矩阵相乘的最小计算量及最优计算顺序。下面是该算法的C语言实现。
(1) 主要变量说明
n：矩阵数
seq[]：矩阵维数序列
cost[][]：二维数组，长度为n*n,其中元素cost[i]U]表示Ai+1*Ai+2*…… *Aj+1的最
优计算的计算代价
trace[][]：二维数组，长度为n*n,其中元素trace[i][j]表示Ai+1*Ai+2*，"*Aj+1的
最优计算对应的划分位置，即k
(2) 函数cmm
两个矩阵相乘要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数，计算量主要由进行乘法运算的次数决定。采用标准的矩阵相乘算法，计算Am×n*Bn×p，需要m*n*p次乘法运算。
矩阵相乘满足结合律，多个矩阵相乘，不同的计算顺序会产生不同的计算量。以矩阵A110×100，A2100x5,A35x50三个矩阵相乘为例，若按(A1*A2)*A3计算，则需要进行10*100*5+10*5*50=7500次乘法运算；若按Al*(A2*A3)计算，则需要进行100*5*50+10*100*50=75000次乘法运算。可见不同的计算顺序对计算量有很大的影响。
矩阵链乘问题可描述为：给定n个矩阵
由于可能的计算顺序数量非常庞大，对较大的n，用蛮力法确定计算顺序是不实际的。经过对问题进行分析，发现矩阵链乘问题具有最优子结构，即若A1*A2*…*An的一个最优计算顺序从第k个矩阵处断开，即分为Al*A2*“，*Ak和Ak+1*Ak--2*“，*An两个子问题，则该最优解应该包含Al*A2*-，*Ak的一个最优计算顺序和Ak+PAk+St-*An的一个最优计算顺序。据此构造递归式，
其中，cost[i][j]表示Ai+1*Ai+2*……*Aj+l的最优计算的计算代价。最终需要求解cost[0][n-1]。
【C代码】
算法实现采用自底向上的计算过程。首先计算两个矩阵相乘的计算量，然后依次计算3个矩阵、4个矩阵……n个矩阵相乘的最小计算量及最优计算顺序。下面是该算法的C语言实现。
(1) 主要变量说明
n：矩阵数
seq[]：矩阵维数序列
cost[][]：二维数组，长度为n*n,其中元素cost[i]U]表示Ai+1*Ai+2*…… *Aj+1的最
优计算的计算代价
trace[][]：二维数组，长度为n*n,其中元素trace[i][j]表示Ai+1*Ai+2*，"*Aj+1的
最优计算对应的划分位置，即k
(2) 函数cmm
【问题：4.1】根据以上说明和C代码，填充C代码中的空(1)〜(4)。
【问题：4.2】根据以上说明和C代码，该问题采用了(5) 算法设计策略，时间复杂度为(6)(用0符号表示)。
【问题：4.3】考虑实例n=6,各个矩阵的维数：A1为5*10,A2为10*3,A3为3*12,A4为12*5,A5为5*50,A6为50*6，即维数序列为5,10,3,12,5,50,6。则根据上述C代码得到的一个最优计算顺序为(7)(用加括号方式表示计算顺序)，所需要的乘法运算次数为(8)。